Bất cứ một số hữu tỷ nào không thể biểu đạt bằng một phân số thập phân, đều có một số thập phân đặc thù ở phần đuôi được nhắc đi nhắc lại, tạo nên một dãy số thập phân tái diễn.

Số mười là tổng số của hai số nguyên tố, thứ 2 và thứ 4, (3 + 7=10), và là số lớn hơn bình phương của số nguyên tố thứ 2 (32=9), và là số nhỏ hơn số nguyên tố thứ 5 (số 11). Điều này chỉ ra rằng có nhiều phân số thập phân đơn thuần, như sau:

1/2 = 0.51/3 = 0.333333... (với số 3 tái diễn)1/4 = 0.251/5 = 0.21/6 = 0.166666... (với số 6 tái diễn)1/8 = 0.1251/9 = 0.111111... (với số 1 tái diễn)1/10 = 0.11/11 = 0.090909... (với số 09 tái diễn)1/12 = 0.083333... (với số 3 tái diễn)1/81 = 0.012345679012... (với dãy số 012345679 tái diễn)

Khi mẫu số là các thừa số nguyên tố, nó còn cho phép những dãy số tái diễn lâu hơn, chẳng hạn trường hợp 7, 13.

Một số hữu tỷ nào đó, tạo nên một dãy số thập phân tái diễn hữu hạn, hoặc vô hạn, đều là hậu quả của một phép tính chia dài, mà trong đó số dư còn lại chỉ là (q-1) những số khác 0, khi số chia là q, hầu cho mô hình tái diễn chỉ nhắc lại q-1 lần. Chẳng hạn phép chia dài 3 7 {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {3}{7}}\end{matrix}}} sau đây:

.4 2 8 5 7 1 4...7) 3.0 0 0 0 0 0 0 0  2 8  30/7 = 4 dư 22 0 1 4  20/7 = 2 dư 66 0 5 6  60/7 = 8 dư 44 0 3 5  40/7 = 5 dư 55 0 4 9  50/7 = 7 dư 11 0 7  10/7 = 1 dư 33 0 2 8  30/7 = 4 dư 2 (tái diễn)2 0 vân vân.

Một quan điểm đối lập với quan sát trên là mỗi số thập phân tái diễn (recurring decimal) cho ta một phân số hữu tỷ p q {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {p}{q}}\end{matrix}}} . Đây chính là hậu quả của việc dãy số thập phân tái diễn là một cấp số nhân (geometric series) hữu hạn, và tổng của chúng là một số hữu tỷ. Chẳng hạn:

0.0123123123 ⋯ = 123 10000 ∑ k = 0 ∞ 0.001 k = 123 10000   1 1 − 0.001 = 123 9990 = 41 3330 {\displaystyle 0.0123123123\cdots ={\frac {123}{10000}}\sum _{k=0}^{\infty }0.001^{k}={\frac {123}{10000}}\ {\frac {1}{1-0.001}}={\frac {123}{9990}}={\frac {41}{3330}}}